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测量不确定度

什么是测量？

测量是指为确定量测值而执行的一系列操作。

 

什么是量测值？

对于通过测量而获得的数量，我们有一个特殊的名称。我们称之为量测值。例如，如果我们使用电子天平来测量硬币的质量，则硬币的质量就是量测值。

 

什么是测量不确定度？

测量结果由两部分组成：一个称为＂测量值＂，另一个则称为＂测量不确定度＂。

＂测量值＂是一个未知且不可知的值。它只是对量测值作出的估计。因此，所有的测量都存在不确定性，并且只有在同时给出测量值的不确定度的情况下，测量结果才是完整。

＂测量不确定度＂是指＂测量值＂的离散度，而此离散度可以合理地视为归因于量测值。与上面的硬币示例一样，无论电子秤的质素如何，我们都只能说明硬币的近似质量。因为在测量过程中有许多因素会影响测量结果，例如环境温度，压力，等等。

 

如何量化测量值的离散度？

在统计学中，计算标准偏差是一种常用于量化一组数据的离散度的方法。

例如在一组含10个数值X1, X2, X3, X4, X5 … X10, 的测量中，其均值和标准偏差σ的计算如下。

均值和标准偏差σ的计算

 

如何评估＂测量不确定度＂？

要了解如何评估测量不确定度，最好是用举例说明的方法。以下是在电池电压测量中评估测量不确定度的简单示例。

电池电压测量

步骤1：定义量测值

量测值Y是电池的电压，由电压表测量。

步骤2：确定输入参数并建立测量模型

可影响测量结果的输入参数如下：

  • M 电压表的测量值
  • R 由于电压表的显示分辨率而导致的不确定性
  • A 对电压表测量值的校正值

输入参数（M，R和A）与测量值Y之间的数学关系称为测量模型。示例如下:

Y = M + R + A

步骤3：评估每个不确定度来源的标准不确定度

对于每个输入参数（也称为不确定度来源），我们需要评估其标准不确定度。

  • 标准不确定度 - 测量结果的不确定度，以标准偏差来表示。

 

以下有两种方法可以评估输入参数的标准不确定度，即A类和B类评估方法。

  • A类评估方法以重复量测的数据所统计得来的标准偏差来评估不确定度的方法。
  • B类评估方法利用非统计方法来获得标准不确定度。该标准不确定度一般是基于经验或其他信息来直接给定的。。

 

步骤3.1：评估电压表测量值的标准不确定度M

在记录了的四个电压表读数中（1.08 V，1.09 V，1.08 V，1.07 V），各个读数的值皆有所不同。此乃由于每个影响测量值的参数均有一定的随机性或随机效应（例如环境温度的变化）。因此，使用A类评估方法来估计这种不确定性。这类评估方法是把测量值的平均值标准差（即实验标准偏差）来作为其标准不确定度。以下是A类评估方法的示例:

先计算四个电压表读数的平均值M =(1.08 V + 1.09 V + 1.08 V + 1.07 V)/ 4 = 1.08 V，再计算其标准偏差及实验标准偏差。

四个电压表读数的平均值

因此，M的标准不确定度为0.004082 V

 

步骤3.2：由电压表的显示分辨率R而导致的不确定性的评估

电压表的显示分辨率R

B类评估方法是用于估计由R而导致的标准不确定性。以下是B类评估方法的示例:

均值R为0，呈矩形分布，其半宽为α = 0.005 V，则标准不确定度为:

标准不确定度R

 

步骤3.3：评估对电压表读数的校正值A

A的值和标准不确定度皆由电压表的校正证书所给出。假设校正证书指出电压表的校正值为+0.06 V，扩展测量不确定度为0.04 V，覆盖因子 k = 2。

对于A的标准不确定度所作出的B类评估为

电压表读数的校正值A

 

步骤4：推导合成标准不确定度

合成标准不确定度- 当一个测量结果由若干个其他量求得时，这个测量结果的标准不确定度，就等于这些其他量的方差或协方差之（加权）和的正平方根，称之为＂合成标准不确定度＂。

在获得所有参数的标准不确定度后，我们可以使用下面给出的不确定度传播定律（LPU）来推导被测量项的合成标准不确定度。

而 是灵敏度系数

在此示例中，灵敏度系数为

下表是该推导的总结。

不确定度来源 不确定度来源的数值 标准不确定度 概率分布
M 1.08 0.004082 M Distribution
R 0 0.002887 R Distribution
A 0.06 0.02 A Distribution
Y 1.14 0.02061 Y Distribution

 

步骤5：评估扩展测量不确定度

  • 扩展测量不确定度 U - 为了提高不确定度的置信水平，可将合成标准不确定度乘以一个数值因子k，由此得到扩展测量不确定度，它表示测量结果附近的一个置信区间，且可以合理地认为（或赋予）被测量值将以较高的置信概率落于该区间中；上述数值因子k通常称为覆盖因子。
  • 覆盖因子 k - 用作合成标准不确定度的乘数，以获得扩展测量不确定度。

扩展测量不确定度U与它的覆盖因子k, 表示被测量Y处于y-U到y+U的范围内的置信水平为95%。扩展不确定度U由下式得出。

U = k×uc(Y)

覆盖因子k的值取决于测量值的概率分布。在“测量不确定度表示指南”的附件G中建议，在不违反中央极限定理的前题上，测量值可被视为遵循学生t分布，其有效自由度Veff可从以下Welch-Satterthwaite公式来计算：

在这个例子中,。从学生t分布来看，有效自由度Veff为54.8的对应覆盖因子值约为2.0049。因此，扩展测量不确定度 = 2.0049 × 0.02061 = 0.04132 ≈ 0.041。

 

 

标准及校正实验所测量不确定度软件工具

标准及校正实验所(SCL)开发出两个软件工具，即(i)「SCL Tool」和(ii)「SCL Simulator 不确定度评估模拟器」。前者根据《测量不确定度表示指南》(Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement) (JCGM 100：2008)（又称「GUM不确定度框架」），应用不确定度传播定律，评估测量模型；后者则根据《测量数据的评估—测量不确定度表示指南补充文件第1号—使用蒙地卡洛法的分布传播》(Evaluation of measurement data — Supplement 1 to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement” — Propagation of distributions using a Monte Carlo method) (JCGM 101:2008)，以蒙特卡洛方法(MCM)来模拟各种分布的传播。两个软件工具均使用与EXCEL紧密结合的Visual Basic for Application (VBA)编程语言编写而成，用户可以简单地在EXCEL工作表输入测量模型和数值。

「SCL Tool」软件工具

用户可以为测量模型编码，并在EXCEL工作表中以表格形式输入相关的不确定参数（即参数值、标准不确定性和自由度）。该工具将自动计算灵敏度系数，并通过以下五个EXCEL用户定义函数(UDF)输出下列计算结果：

  1. 量测值 (UDF: gum_result() )
  2. 合成标准不确定度 (UDF: gum_csu() )
  3. 有效自由度 (UDF: gum_edof() )
  4. 覆盖因子 (UDF: gum_k() )
  5. 扩展测量不确定度 (UDF: gum_eu() )

有关用于测量不确定度的SCL Tool的详情，请参考这个软件工具中各种测量模型的示例。

示范工作表

SCL Tool工作表

「SCL Tool」软件工具（网页版）

免责声明

软件工具由中华人民共和国香港特别行政区政府（下称「政府」）辖下的标准及校正实验所以「现况」形式提供，仅用作教育和一般参考用途。政府虽已尽力确保软件工具所载资料准确，但政府对于有关资料的准确性、可用性、完整性、可靠性、是否适合作某特定或任何用途、安全性、适时性、所有权、是否侵权、适用性或效用，在香港特别行政区法律许可的范围内，概不作任何种类（不论明示或隐含）的声明、陈述、担保或保证。对于任何因使用或不当使用、依据软件工具的相关资料而引致或所涉及的任何损失、毁坏、损害、伤害或死亡（除非该等伤害或死亡是由政府或其任何雇员在雇用期间疏忽所致），政府概不承担任何法律责任、义务或责任（包括但不限于疏忽责任）。

SCL模拟器

用户可以表格形式指定相关的不确定参数（也称为输入参数），例如估算值、标准不确定度和概率分布函数(PDF)等。SCL模拟器具备以下特点，用以设定MCM模拟模型：

  1. 多达八种适用于输入参数的PDF赋值；
  2. 适用于相关输入参数的多维高斯分布；
  3. 通过固定样本数量或自适应模式选择MCM试验数量；以及
  4. 选择对称覆盖区间或最短覆盖区间进行不确定性评估。

MCM的模拟结果会显示于同一张EXCEL工作表上。在自适应模拟模式中，SCL模拟器会按照补充文件第1号载列的方法自动检查GUF的有效性。

有关SCL模拟器的详情，讲参阅软件说明书及本模拟器中的测量模型编码例子。

软件说明书

SCL模拟器软体套件

有关此软件工具的查询，请发送电子邮件至：hslam@itc.gov.hk

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  1. 本网站所载的资料由中华人民共和国香港特别行政区政府（下称「政府」）辖下的标准及校正实验所以「现况」形式提供，仅用作教育和一般参考用途。政府虽已尽力确保网站所载资料准确，但政府对于有关资料的准确性、可用性、完整性、可靠性、是否适合作某特定或任何用途、安全性、适时性、所有权、是否侵权、适用性或效用，在香港特别行政区法律许可的范围内，概不作任何种类（不论明示或隐含）的声明、陈述、担保或保证。对于任何因使用或不当使用、依据相关资料或不能使用相关资料而引致或所涉及的任何损失、毁坏、损害、伤害或死亡（除非该等伤害或死亡是由政府或其任何雇员在雇用期间疏忽所致），政府概不承担任何法律责任、义务或责任（包括但不限于疏忽责任）。

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以下解释标准及校正实验所证书中的测量不确定度

示例：在标称直流电压10.000 V下校准电压表

Voltmeter Measured Correction
Range Meter Reading Value y Measurement Uncertainty
Expanded Measurement Uncertainty U Coverage Factor k
10 V 9.900 V +100 mV 1 mV 2.0

 

如标准及校正实验所证书所示，在仪表读数为9.900 V时，测得的校正值y为+100 mV，扩展测量不确定度U为1 mV。这意味着校正值y处于从99 mV到101 mV的区间内的可能性大约为95%。当仪表读数为9.900 V时，仪表测量的实际电压将介于9.999 V至10.001 V之间，置信度约为95%。

电压表在10.000 V直流电压下的校准示例 电压表在10.000 V直流电压下的校准示例

 

Reference

  1. Evaluation of Measurement Date – Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, JCGM 100:2008.
  2. Evaluation of measurement data – An introduction to the "Guide to the expression of uncertainty in measurement" and related documents, JCGM 104:2009
  3. International Vocabulary of Metrology – Basic and General Concepts and Associated Terms (VIM 3rd edition), JCGM 200:2012